无序数组求第K大的数

问题描述

无序数组求第K大的数,其中K从1开始算。

例如:[0,3,1,8,5,2]这个数组,第2大的数是5

OJ可参考:LeetCode_0215_KthLargestElementInAnArray

堆解法

设置一个小根堆,先把前K个数放入小根堆,对于这前K个数来说,堆顶元素一定是第K大的数,接下来的元素继续入堆,但是每入一个就弹出一个,最后,堆顶元素就是整个数组的第K大元素。代码如下:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
public static int findKthLargest3(int[] nums, int k) {
PriorityQueue<Integer> h = new PriorityQueue<>();
int i = 0;
// 经历这个循环,前K个数的第K大的数就是h的堆顶元素
while (i < k) {
h.offer(nums[i++]);
}
// 每次入一个,出一个,这样就保证了堆顶元素永远保持第K大的元素
while (i < nums.length) {
h.offer(nums[i++]);
h.poll();
}
return h.peek();
}

由于每次堆需要logK的调整代价, 所以这个解法的时间复杂度为O(N*logK)

改进快排算法

快速排序中,有一个partition的过程, 代码如下,注:以下代码是从大到小排序的partition过程

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
private static int[] partition(int[] nums, int l, int r, int pivot) {
int i = l;
int more = l - 1;//大于区域
int less = r + 1; // 小于区域
while (i < less) {
if (nums[i] > pivot) {
swap(nums, i++, ++more);
} else if (nums[i] < pivot) {
swap(nums, i, --less);
} else {
i++;
}
}
return new int[]{more + 1, less - 1};
}

这个过程主要的作用是将nums数组的l...r区间内的数,将:

  • 小于pivot的数放右边

  • 大于pivot的数放左边

  • 等于pivot的数放中间

返回两个值,一个是左边界和一个右边界,位于左边界和右边界的值均等于pivot,小于左边界的位置的值都大于pivot,大于右边界的位置的值均小于pivot。简言之:如果要排序,pivot这个值在一次partition以后,所在的位置就是最终排序后pivot应该在的位置。

所以,如果数组中某个数在经历上述partion之后正好位于K-1位置,那么这个数就是整个数组第K大的数。

完整代码如下:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
public class LeetCode_0215_KthLargestElementInAnArray {

// 快排改进算法
// 第K小 == 第 nums.length - k + 1 大
public static int findKthLargest2(int[] nums, int k) {
return p(nums, 0, nums.length - 1, k - 1);
}
// nums在L...R范围上,如果要排序(从大到小)的话,请返回index位置的值
public static int p(int[] nums, int L, int R, int index) {
if (L == R) {
return nums[L];
}
int pivot = nums[L + (int) (Math.random() * (R - L + 1))];
int[] range = partition(nums, L, R, pivot);
if (index >= range[0] && index <= range[1]) {
return pivot;
} else if (index < range[0]) {
return p(nums, L, range[0] - 1, index);
} else {
return p(nums, range[1] + 1, R, index);
}
}
private static int[] partition(int[] nums, int l, int r, int pivot) {
int i = l;
int more = l - 1;//大于区域
int less = r + 1; // 小于区域
while (i < less) {
if (nums[i] > pivot) {
swap(nums, i++, ++more);
} else if (nums[i] < pivot) {
swap(nums, i, --less);
} else {
i++;
}
}
return new int[]{more + 1, less - 1};
}

public static void swap(int[] nums, int t, int m) {
int tmp = nums[m];
nums[m] = nums[t];
nums[t] = tmp;
}
}

其中p方法表示:numsL...R范围上,如果要排序(从大到小)的话,请返回index位置的值。

1
int pivot = nums[L + (int) (Math.random() * (R - L + 1))];

这一行表示随机取一个值pivot出来,用这个值做后续的partition操作,如果index恰好在pivot这个值做partition的左右边界范围内,则pivot就是排序后第index+1大的数(从1开始算)。

bfprt算法

brfpt算法和改进快排算法主流程上基本一致,只是在选择pivot的时候有差别,快排改进是随机取一个数作为pivot, 而bfprt算法是根据一定的规则取pivot,伪代码表示为:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
public class LeetCode_0215_KthLargestElementInAnArray {

public static int findKthLargest2(int[] nums, int k) {
return bfprt(nums, 0, nums.length - 1, k - 1);
}

// nums在L...R范围上,如果要排序(从大到小)的话,请返回index位置的值
public static int bfprt(int[] nums, int L, int R, int index) {
if (L == R) {
return nums[L];
}
//int pivot = nums[L + (int) (Math.random() * (R - L + 1))];
int pivot = medianOfMedians(nums, L, R);
int[] range = partition(nums, L, R, pivot);
if (index >= range[0] && index <= range[1]) {
return pivot;
} else if (index < range[0]) {
return bfprt(nums, L, range[0] - 1, index);
} else {
return bfprt(nums, range[1] + 1, R, index);
}
}
....
}

其中

1
int pivot = medianOfMedians(nums, L, R);

就是bfprt算法最关键的步骤,mediaOfMedians这个函数表示:

num分成每五个元素一组,不足一组的补齐一组,并对每组进行排序(由于固定是5个数一组进行排序,所以排序的时间复杂度O(1)),取出每组的中位数,组成一个新的数组, 对新的数组求其中位数,这个中位数就是我们需要的值pivot

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
public static int medianOfMedians(int[] arr, int L, int R) {
int size = R - L + 1;
int offSize = size % 5 == 0 ? 0 : 1;
int[] mArr = new int[size / 5 + offSize];
for (int i = 0; i < mArr.length; i++) {
// 每一组的第一个位置
int teamFirst = L + i * 5;
int median = getMedian(arr, teamFirst, Math.min(R, teamFirst + 4));
mArr[i] = median;
}
return bfprt(mArr, 0, mArr.length - 1, (mArr.length - 1) / 2);
}

public static int getMedian(int[] arr, int L, int R) {
Arrays.sort(arr, L, R);
return arr[(R + L) / 2];
}

注:mediaOfMedians方法中最后一句:

1
return bfprt(mArr, 0, mArr.length - 1, (mArr.length - 1) / 2);

就是利用bfprt算法拿整个元素中间位置的值。

关于bfprt算法的两个问题

  1. 为什么是5个一组

  2. 为什么严格收敛到O(N)

请参考:

BFPRT算法原理

BFPTR算法详解+实现+复杂度证明

三种解法复杂度分析

算法 时间 空间
O(N*logK) O(N)
快排改进 概率上收敛到:O(N) O(1)
bfprt 严格收敛到:O(N) O(N)

相关题目

LeetCode_0004_MedianOfTwoSortedArrays

第K小的数值对

长度为N的数组arr,一定可以组成N^2个数值对。例如arr = [3,1,2],数值对有(3,3) (3,1) (3,2) (1,3) (1,1) (1,2) (2,3) (2,1) (2,2),也就是任意两个数都有数值对,而且自己和自己也算数值对。数值对怎么排序?规定,第一维数据从小到大,第一维数据一样的,第二维数组也从小到大。所以上面的数值对排序的结果为:(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3), 给定一个数组arr,和整数k,返回第k小的数值对。

更多

算法和数据结构笔记

参考资料

程序员代码面试指南(第2版)

算法和数据结构体系班-左程云

BFPRT算法原理

BFPTR算法详解+实现+复杂度证明